20.6.14

Η ΚΒΑΝΤΩΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ. Μια γεωμετρική ερμηνεία των βασικών αρχών της κβαντικής μηχανικής.


Ένα άρθρο από τον φίλο μαθηματικό Γιώργο Μπαντέ.

Μια γεωμετρική ερμηνεία των βασικών αρχών της κβαντικής μηχανικής.
Γιώργος Μπαντές
e-mail : mpantes_2@yahoo.gr

ΠΕΡΙΛΗΨΗ .
Στο άρθρο αυτό, οι αρχές αβεβαιότητας και συμπληρωματικότητας,
αποδίδονται στο χωρόχρονο, μέσω της φυσικοποίησης της έννοιας του σημείου.
Κάθε τροχιά ενός υλικού σώματος συνίσταται σε έναν πεπερασμένο αριθμό
χωρικών μηκών και χρονικών διαρκειών, βημάτων, τα οποία εξαρτώνται από την
ορμή και την ενέργεια του σώματος. Αυτά είναι τα «σημεία» και οι «στιγμές»
αντίστοιχα στο χώρο και στο χρόνο, της κίνησης του σώματος.
Η φυσική τους ύπαρξη , δηλαδή η ασυνέχεια του χώρου και του χρόνου,
δίνουν μια νέα ερμηνεία στα θεμέλια της κβαντομηχανικής. Οι αρχές της
αβεβαιότητας μεταφέρονται στην κβάντωση του χωρόχρονου από τα υλικά σώματα
και ερμηνεύονται έτσι φυσικότερα μέσα από τη μήτρα όλων των περιγραφών :το
χωρόχρονο.

ΧΩΡΟΧΡΟΝΙΚΑ ΚΒΑΝΤΑ .
Θα αποδώσουμε μια φυσική σημασία στην έννοια του «κβαντικού γεγονότος»
του επίπεδου χωρόχρονου: του σημείου στο χώρο και της στιγμής στο χρόνο.
Έχοντας συνδέσει τις γεωδαισιακές του χωρόχρονου με τις τροχιές ελεύθερων
σωμάτων, θα προκύψει ότι η ερμηνεία μας των σημείων και των στιγμών θα
σχετίζεται με τα σώματα και τις κινήσεις τους.

Αν (ε) είναι κοσμική γραμμή ενός σώματος μεταξύ των γεγονότων Α1(χ1,t1)
και Α2 (χ2 , t2) δεχόμαστε ότι η απόσταση χ2-χ1 ισούται με έναν πεπερασμένο αριθμό
«σημείων» με μήκος sq=h/p όπου h η σταθερά του Planck και p η ορμή του
σώματος δηλαδή x2-x1=nh/p …….(1) το σημείο της γεωμετρίας έχει διαστάσεις.
Ακόμα η διαφορά
t2-t1=nh/E ………..(2)
όπου Ε η ενέργεια του σώματος και tq =h/Ε είναι η «στιγμή» στο χρόνο
της πορείας του σώματος.
Το υλικό σώμα δεν μπορεί να διαγράψει τροχιά μικρότερη του sq=h/p και η
περιγραφή της συμπεριφοράς του περιορίζεται χρονικά από το tq =h/Ε. οι δύο αυτές
ποσότητες είναι το σημείο και η στιγμή γ για τη δοθείσα κοσμική ακτίνα.
Από τις (1) και (2) η ποσοτικοποίηση της κβάντωσης της δράσης είναι άμεση
και φυσική, αφού
Δράση=(ενέργεια )χ(χρόνο)=Ε.ntq=nh nЄN ………(3)

AΡΧΕΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ .
Η φυσική «ύπαρξη» του σημείου του χωρόχρονου θα δώσει νέα ερμηνεία στις
αρχές αβεβαιότητας.
Είναι γνωστό ότι κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους προκαλεί μεταβολή
της κατάστασης του συστήματος στο οποίο λαμβάνει χώρα η μέτρηση. Συγκεκριμένα ,
η διαταχή του μικρο-σωματιδίου δεν είναι αμελητέα.
Η διαταραχή αυτή προκαλείται από την εφαρμογή μιας δύναμης F σε αυτό , η
οποία θα δράσει για ένα χωρικό διάστημα Δχ και ένα χρονικό επίσης Δt της ιστορίας
του σωματιδίου που μετρούμε. Η παρατήρηση δεν είναι ακαριαία άρα η δράση της F
θα επιφέρει μεταβολή στο μετρούμενο μέγεθος. Αυτή είναι η αβεβαιότητα στις τιμές
μέτρησης της ορμής και της ενέργειας Τα διαστήματα αυτά δεν μπορούν να είναι όσο
μικρά επιθυμούμε: Τα Δχ=nsq και Δt=n΄tq οσοδήποτε ακριβείς είναι οι
πειραματικές συνθήκες.
Τότε η δύναμη F, που ασκείται στο σώμα , για ένα πεπερασμένο χωρικό και
χρονικό διάστημα κατά τη συνεχή θεώρηση, θα μεταβάλλει την ορμή και την ενέργεια
του σώματος σύμφωνα με τους τύπους
Δp=FΔt ……..(4)
ΔE=FΔx………….(5)
όπου οι μεταβολές Δp και ΔΕ εκφράζουν για τους σκοπούς της
πειραματικής μέτρησης τις αβεβαιότητες στα μεγέθη της ορμής και της ενέργειας
αφού τα Δχ και Δt είναι «κενά» στο χώρο και στο χρόνο του σώματος, δεν
συμπιέζονται από οποιαδήποτε ακρίβεια. Αυτό σημαίνει ότι οι αβεβαιότητες είναι μη
ποσοτικά ορίσιμες μεταβολές.
Απαλείφοντας την F από τις (4) και (5) έχουμε
ΔP.Δχ=ΔΕ.Δt και αφού κάθε μέλος της σχέσης έχει διαστάσεις δράσεως
έχουμε τελικά
Δp.Δχ=ΔΕ.Δt=nh …………(6)
H νέα ερμηνεία της (6) είναι ότι αφού το σημείο στο χώρο και η στιγμή στο
χρόνο έχουν αποκτήσει διαστάσεις , οι αβεβαιότητες της (6) εκφράζουν την
ασυνέχεια την οποία ο χωρόχρονος αποδίδει στην ιστορία των υλικών σωμάτων.
Οπωσδήποτε , η ερμηνεία τους επεκτείνεται πέρα από την πειραματική
μέτρηση.
Η ΔΕ.Δt≥h ερμηνεύεται ως εξής: η μεταβολή της ενέργειας κατά ΔΕ δεν
μπορεί να συμβεί ακαριαία, στιγμιαία, αλλά μέσα σε κάποιο πεπερασμένο χρονικό
διάστημα nh/ΔΕ. Ο ελάχιστος χρόνος για τη μεταβολή είναι Δt=h/ΔΕ. Για το
διάστημα Δt,
Πρόταση 1. παραβιάζεται η αρχή της διατηρήσεως της ενέργειας η οποία
αποκαθίσταται στο τέλος του διαστήματος . Παρόμοια η μεταβολή της ορμής κατά
Δp απαιτεί κάποιο διάστημα του χώρου για να συμβεί. Το μικρότερο διάστημα είναι
το h/Δp. Αυτό είναι το σημείο μεταβολής της ορμής όπως ακριβώς το h/ΔΕ είναι
η στιγμή της μεταβολής της ενέργειας κατά ΔΕ.

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΚΥΜΑΤΙΚΗ .
Η νέα ερμηνεία των αρχών αβεβαιότητας μας οδηγεί σε δύο σημαντικά
συμπεράσματα στην κυματική θεωρία.
Μπορούμε να δώσουμε μια νέα έκφραση για την ποσότητα ενέργειας η οποία
εκπέμπεται μέσω του κύματος και για το ποσό της ορμής μέσα σε διάστημα ενός
μήκους κύματος.
Έστω Α σημείο του χώρου διάδοσης του κύματος και ΕΤ η ενέργεια σε αυτό
σε μια περίοδο Τ. τότε από τον τύπο (6)έχουμε
Ετ≥hν ………(7)
Δηλαδή η ενέργεια του κύματος ανά περίοδο, κβαντώνεται από το hν και έτσι
τα ακουστικά φωνόνια αντιστοιχούν στα ηχητικά κύματα. Επίσης από την (6) έχουμε
P=nh/λ =nhk ……….(8)
Δηλαδή αντιστοιχίζουμε ορμή στα φωνόνια , όπου κ ο κυματαριθμός του
ηχητικού κύματος. Οι σχέσεις (7) και (8) ισχύουν σε κάθε κύμα με στοιχεία ν, λ και
κ. οι σχέσεις αυτές θα μας χρησιμεύσουν στη συνέχεια.

ΤΟ ΦΩΤΟΝΙΟ .
Εδώ θα ερμηνεύσουμε τη σωματιδιακή φύση του φωτός, αποδίδοντάς την στο
χωρόχρονο.
Στο σημείο Α της διάδοσης της ηλεκτρομαγνητικής θεωρίας έχουμε την
εμφάνιση ενέργειας Ε=ΔΕ σε χρόνο Τ=Δt. Όπως προκύπτει από την (6)
Ε=nh/T=nhν……………(9)
Όμως αν δεχτούμε αυτή την μεταβολή της ενέργειας σε μια περίοδο του
φωτεινού κύματος ως
Πρόταση 2. την ταχύτερη μεταβολή στη φύση τότε από την (9) προκύπτει
ότι Ε=hν δηλαδή η ενέργεια ανά περίοδο είναι hν. Η δράση της ενεργεί ασυνεχώς αν
και η φύση της μεταβολής της είναι συνεχής, αφού σε κάποιον μικρότερο χρόνο η
αρχή διατηρήσεως της ενέργειας παραβιάζεται: η στιγμή της μεταβολής είναι η
περίοδος Τ. Έτσι στο τέλος κάθε περιόδου, εμφανίζεται στις αλληλεπιδράσεις η
ποσότητα της ενέργειας hν. Η εικόνα αυτή υπάρχει σε κάθε σημείο της διαδρομής
του φωτός. Συνεπώς το «φαινόμενο» διαδίδεται με ταχύτητα c, δηλαδή έχουμε την
εμφάνιση ενέργειας hν ανά περίοδο δίνοντας υπόσταση στην ασυνέχεια της φωτεινής
ακτίνας, την σωματιδιακή συμπεριφορά του φωτός (φωτοηλεκτρικό φαινόμενο).
Η εικόνα αυτή μας λέει ότι το φωτόνιο δεν είναι του ίδιου status με το υλικό
σώμα όσον αφορά την υπόσταση και την κίνησή του. Το φωτόνιο εδώ και εκεί δεν
είναι το ίδιο .Δεν είναι δηλαδή το ίδιο φωτόνιο που μετακινείται όπως το
σωματίδιο, αλλά είναι διαφορετικές φέτες hν της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας, η
οποία τεμαχίζεται από την δυναμική ύπαρξη του χωρόχρονου. Η διάδοση του
φαινομένου που δημιουργεί αυτόν τον τεμαχισμό, είναι ισοδύναμη σε περιγραφή, με
τη μετατόπιση της ποσότητας ενέργειας hν , άρα και με μεταφορά ορμής p=h/λ.
Τώρα η σωματιδιακή περιγραφή, άρα και πραγματικότητα, είναι πλήρης. Το φωτόνιο
εκφράζει το αποτέλεσμα της χωροχρονικής κβάντωσης στην ακτινοβολία του
Maxwell.

ΥΛΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ .
Θα προσπαθήσουμε να «δούμε» την κίνηση ενός σωματιδίου μέσα στο
διάστημα Sq .
To Sq δεν είναι απόσταση στην τροχιά του κινητού, είναι συνδεδεμένο με το
χρονικό κβάντο tq, και μέσα σε αυτά δεν ισχύουν οι αρχές διατηρήσεως. Αν
διατηρούσαμε την εικόνα του συνεχούς χωρόχρονου, η ταχύτητα του σώματος θα
έπρεπε να είναι c2/u , γεγονός που καταστρέφει τη σωματιδιακή εικόνα
(περιγραφή).
Η αποκατάσταση της περιγραφής θα γίνει μέσω της (8). Είδαμε ότι η
μικρότερη ορμή που μεταφέρεται από το κύμα είναι
p=h/λ ……. (9).
Συγκρίνοντας την (9) με την (1) φαίνεται ότι η ορμή του σώματος είναι ίση με
την ορμή του κύματος με μήκος λ= Sq . Η ταυτότητα των περιγραφών αποδίδει μια
ταυτότητα στην πραγματικότητα, αφού η πραγματικότητα αποδίδεται μέσω της
χωροχρονικής περιγραφής. Καθώς είναι αδύνατο να περιγράψουμε τη
μικροσκοπική κίνηση με σωματιδιακά χαρακτηριστικά χωρίς το Sq, τότε για
αποστάσεις συγκρίσιμες με το Sq περιγράφεται, δηλαδή γίνεται, ένα κύμα με
χαρακτηριστικά λ=h/p ταχύτητα c2/u και T=tq. Αυτό είναι το υλικό κύμα de Broglie ,
από το οποίο κατασκευάζεται το κυματόδεμα με ομαδική ταχύτητα την u.
Έτσι με η αποδοχή των κβάντων του χώρου και του χρόνου, η μόνη
δυνατότητα περιγραφής της ύλης στο πολύ μικρό, είναι η κυματική. Η ασυνέχεια του
χώρου και του χρόνου είναι η βάση της κβαντικής περιγραφής.

ΑΛΛΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ .
Μια επέκταση των ιδεών αυτών βρίσκεται στη σχέση της κίνησης των
σωμάτων, και της μαθηματικής της περιγραφής. Τα παράδοξα του Ζήνωνα που
οφείλονται ακριβώς στη μεταφορά των στοιχείων της κίνησης στους αριθμούς –τα
σημεία του συνεχούς της ευθείας- τώρα δεν υφίστανται. Η διαδρομή ΑΒ του
παράδοξου της διχοτομίας (άρθρο τα παράδοξα του Ζήνωνα mpantes on scribd)
αποτελείται από πεπερασμένο –αν και πολύ μεγάλο – αριθμό χωρικών βημάτων του
κινητού, τα οποία τελειώνουν, και το σώμα φτάνει στο Β. Διαχωρίζεται το
μαθηματικό άπειρο από τη φυσική της κίνησης , όπως έγινε παντού σε κάθε κλάδο
της φυσικής. Έτσι η μαθηματική περιγραφή καθίσταται ένας χάρτης της κίνησης, με
κλίμακες κλπ. , αλλά όπως γνωρίζουμε οι χάρτες δεν περιγράφουν την κίνηση αλλά
τη διαδρομή. Στην κλασσική μηχανική η διαφορική αιτιότητα του απειροστικού
λογισμού είναι μια ακριβής προσέγγιση της κίνησης, γιατί για τα σώματα της άμεσης
εμπειρίας μας, τα χωροχρονικά κβάντα τείνουν στο μηδέν, αποδίδοντας την έννοια
των απειροστών του Λάιμπνιτς. Η έννοια του μαθηματικού συνεχούς που
επακολούθησε αναφέρεται στους αριθμούς , τους οποίους θεωρήσαμε ως εικόνες
της κάθε πραγματικότητας, ακόμα και της κίνησης. Έτσι δικαιώσαμε τους
Πυθαγόρειους που πίστευαν ότι «το παν αριθμός». Τα όρια του Κωσύ, το συνεχές
των Ντέντεκιντ και Κάντορ, είναι μαθηματικές ανακαλύψεις για τους αριθμούς, δεν
σημαίνουν τίποτα για τη φύση, πέρα από την καταλυτική προσομοίωση και
προσέγγισή της που πετυχαίνουν.

Γιώργος Μπαντές www mpantes.gr

Δεν υπάρχουν σχόλια: