Η εμφάνιση της αλγεβρικής δομής.

Του μαθηματικού Γιώργου Μπαντέ

Οι απαρχές της αφηρημένης άλγεβρας- η συμβολική άλγεβρα

H ιστορία των λογικών βάσεων του Λογισμού επαληθεύει αυτό που είπε ο Αϊνστάιν για τα μαθηματικά: τα «μαθηματικά όταν αναφέρονται στην πραγματικότητα δεν είναι βέβαια και όταν είναι βέβαια δεν αναφέρονται στην πραγματικότητα». Πράγματι με τα αβέβαια απειροστά υπολόγιζαν τις τροχιές των πλανητών. Για να αποκτήσουν βεβαιότητα , χρειάστηκε να αναφερθούν …στους πραγματικούς αριθμούς.

Οι πραγματικοί αριθμοί (το γνωστό σύνολο R), αν και χρησιμοποιούνται ευρέως στο Λύκειο ποτέ δεν έχουν εισαχθεί κατάλληλα σαν έννοια σε αυτό. Τι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ;

Ο Spivak στο βιβλίο του Calculus μας υπερτονίζει ότι η ιδιότητα της ‘πληρότητας’ των πραγματικών αριθμών είναι η βάση για τα θεμελιωδέστερα θεωρήματα των συνεχών συναρτήσεων: το θεώρημα της μέσης τιμής και τα δύο θεωρήματα του Weierstrass (Βάγιερστρας). Η ιδιότητα αυτή μας απομακρύνει από την καθαρά αλγεβρική φύση των προηγούμενων συνόλων αριθμών, δηλαδή των ακεραίων και των κλασμάτων, και εισάγει πράγματα σχετικά με το άπειρο( όρια , αναπτύγματα ..).

Για να κατανοηθούν λοιπόν οι έννοιες του Λογισμού , πρέπει να κατανοήσουμε πρώτα το σύνολο R. Από το Ζήνωνα μέχρι τον Κωσύ , αυτό που έλειπε και δημιουργούσε τα παράδοξα και τα λογικά κενά ήταν η άγνοια των αριθμών με τους οποίους εμπλεκόμασταν, αφού ο Λογισμός ήταν τελικά λογισμός σε αριθμούς.

Η εξιστόρηση της κατασκευής των πραγματικών αριθμών αρχίζει με μια περιγραφή των εννοιών της άλγεβρας , από την αριθμητική της εκδοχή μέχρι την αφηρημένη έκφραση των αλγεβρικών δομών.

Στην πορεία μας θα ορίσουμε αξιωματικά το σύνολο των πραγματικών αριθμών, και στη συνέχεια θα δούμε τον τρόπο με τον οποίο προκύπτει από το γνωστό σύστημα των ρητών , ένα σύνολο αριθμών που θα πληρεί αυτή την αξιωματική βάση. Ας δούμε όμως τα πράγματα από την αρχή.

Η εμφάνιση της αλγεβρικής δομής.

Η εμφάνιση των αλγεβρικών δομών της αφηρημένης άλγεβρας, (ομάδες, δακτύλιοι σώματα) δεν προέκυψε ξαφνικά και αξιωματικά, όπως παρουσιάζεται να συμβαίνει σε όλα τα βιβλία αφηρημένης άλγεβρας. Οι σκαπανείς της μαθηματικής εξερεύνησης περιέγραφαν συγκεκριμένες αλγεβρικές δομές από τα χρόνια του Ruffini ο οποίος ήταν ο πρώτος που ανέπτυξε τη θεωρία της ομάδας των μεταθέσεων. Το επόμενο βήμα στη μελέτη των ομάδων, έγινε από το Γκαλουά το 1832-αν και δημοσιεύτηκε το 1846- ο οποίος σημείωνε για πρώτη φορά τη εσωτερικότητα της πράξης της ομάδας των μεταθέσεων γράφοντας: «σε μια τέτοια ομάδα κάποιος που έχει τις αντικαταστάσεις Σ και Τ, τότε έχει την αντικατάσταση ΣΤ». (Εισαγωγή στη θεωρία Γκαλουά www.mpantes.gr)

Η έννοια δηλαδή της δομής ήταν αποσπασματική και περιστασιακή στις αποδεικτικές πορείες των παλαιότερων μαθηματικών της Ευρώπης. Όμως τα γεγονότα πλήθαιναν. Euler,Gauss, Kronecker, Lagrange, Vandermond, Cauchy, Jordan επεξεργάζονταν συχνότερα τις έννοιες των δομών στις μελέτες τους, ώσπου η «αφηρημένη» έννοια της ομάδας εμφανίστηκε από τον Arthur Cayley το 1854, αφού είχε ήδη εμφανιστεί το κίνημα των συμβολιστών στην Αγγλία.

Στην Αγγλία η πορεία ήταν αντίστροφη, εκεί η αφηρημένη άλγεβρα, -η πρώτη της εμφάνιση ,η συγκρατημένη αναγνώριση δομής στην άλγεβρα- αναδείχτηκε με βάση λογικές αρχές, με τη μορφή της συμβολικής άλγεβρας. Οι δύο πορείες , η επαγωγική της Ηπειρωτικής Ευρώπης και η παραγωγική της Αγγλίας συναντήθηκαν, αναγνωρίζοντας στις δομές μια βαθύτερη σημασία!

Μια εύκολη δομή

Όταν μελετούμε τη συνηθισμένη αριθμητική των θετικών ακεραίων, από όπου ξεκινάει η Άλγεβρα – ο Θεός έπλασε τους θετικούς ακέραιους όλους τους άλλους αριθμούς τους έκανε ο άνθρωπος..Kronecker-¹ συναντούμε δύο πράξεις, την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό. Η έννοια της «πράξης» είναι βασική στα μαθηματικά: είναι η αντιστοίχηση δύο στοιχείων ενός συνόλου σε ένα στοιχείο του ίδιου συνόλου. Η γνωστή διαίρεση δεν είναι πράξη στο σύνολο των θετικών ακεραίων.

Η πρόσθεση λοιπόν και ο πολλαπλασιασμός στο σύνολο των θετικών ακεραίων είναι «πράξεις» , συμβολίζονται με + και x αντίστοιχα και έχουν βασικές ιδιότητες τις

Ι. α+β=β+α

ΙΙ. α+(β+γ)=α+β+γ

ΙΙΙ αxβ=βxα

ΙV. αx(βxγ)=αxβxγ

V. αx(β+γ)=αxβ+αxγ

όπου τα γράμματα αντιπροσωπεύουν ή συμβολίζουν τους θετικούς ακεραίους (τουλάχιστον κατά τις αρχές του 19^ο αιώνα όπου η άλγεβρα ήταν μια γενίκευση ή μια συμβολική γραφή της αριθμητικής, τα γράμματα συμβολίζουν αριθμούς). Οι πέντε ιδιότητες ορίζουν την άλγεβρα των θετικών ακεραίων.

Όμως οι ιδιότητες αυτών των πράξεων θα μπορούσαν να αναφέρονται και στο σύνολο των πολυωνύμων, στις αντίστοιχες πράξεις τους , τα γνωστά από το Λύκειο, και είναι εύκολη μια επαλήθευσή τους. Οι συνέπειες των παραπάνω πέντε ιδιοτήτων συνιστούν μια άλγεβρα εφαρμόσιμη στους θετικούς ακεραίους αλλά επίσης εφαρμόσιμη και στα πολυώνυμα. Για παράδειγμα (α+β)²=α²+β²+2αβ για τους θετικούς ακέραιους και (π+ρ)²=π²+ρ²+2πρ για τα πολυώνυμα, να μια συνέπεια. Στους θετικούς ακεραίους υπάρχουν πρώτοι αριθμοί , στα πολυώνυμα υπάρχουν ανάγωγα πολυώνυμα, να άλλη συνέπεια .

Έτσι λέμε ότι υπάρχει μια κοινή αλγεβρική δομή. (οι πέντε βασικές ιδιότητες και οι συνέπειές τους ) που προσαρτάται σε πολλά διαφορετικά συστήματα. Αργότερα μαθαίνουμε:

Τι κοινό έχουν

το σύνολο των πολυωνύμων με πραγματικούς συντελεστές,

το σύνολο των ελεύθερων διανυσμάτων,

το σύνολο των πινάκων μχν μ ,ν εΝ,

το σύνολο των πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού,

το σύνολο των μιγαδικών αριθμών κλπ…;

Είναι όλα διανυσματικοί χώροι επί του σώματος των πραγματικών αριθμών.

Ο διανυσματικός χώρος είναι μια δομή όπως η απλή δομή που είδαμε στους ακέραιους και δεν την ονοματίσαμε γιατί είναι απλή. Οι πέντε βασικές ιδιότητές της μπορούν να θεωρηθούν ως αξιώματα της αλγεβρικής δομής των θετικών ακεραίων, και κάθε θεώρημα που παράγεται από αυτά τα αξιώματα θα είναι εφαρμόσιμο σε κάθε άλλη ερμηνεία που ικανοποιεί τις πέντε βασικές ιδιότητες . Οι διανυσματικοί χώροι έχουν άλλα αξιώματα , οι ομάδες άλλα κλπ.

Στο σημείο αυτό γίνεται η αλλαγή στην αλγεβρική θεώρηση: η άλγεβρα απελευθερώνεται από την αριθμητική, τα γράμματα τώρα μπορεί να είναι αρνητικοί αριθμοί, πολυώνυμα, πίνακες, μιγαδικοί,…. αυτό που τα κινεί αλγεβρικά είναι η αλγεβρική δομή.

Η «συμβολική άλγεβρα»

Η συμβολική άλγεβρα είναι η θεωρητική εξασφάλιση της επέκτασης των παραπάνω ιδεών στις θεμελιώδεις αρχές της άλγεβρας, που ψηλαφεί την ιδέα της αλγεβρικής δομής και μας προετοιμάζει για την α ξ ι ω μ α τ ι κ ο π ο ί η σ η στην ανάπτυξη της άλγεβρας.

Στην Αγγλία το «κίνημα των συμβολιστών» του Καίμπριτζ με αρχηγό το G.Peacock (Γιώργος), ο οποίος θεωρείται από τους ιστορικούς, ως ο Ευκλείδης της Άλγεβρας, προχώρησε προς τη μεγάλη αυτή και δυσνόητη μετάλλαξη της άλγεβρας, μελετώντας για πρώτη φορά σε βάθος τις θεμελιώδεις αρχές της , την οποία για να κατανοήσουμε, θα την περιγράψουμε δίπλα στο παράδειγμα του ορισμού της αφαίρεσης και των αρνητικών ακεραίων , γνωρίζοντας ήδη την άλγεβρα των θετικών ακεραίων .

Αφαιρούμε το β από το α σημαίνει βρίσκουμε έναν αριθμό, που αν τον προσθέσουμε στο β έχουμε τον α. Το αποτέλεσμα γράφεται α-β και πληρεί τη σχέση

(α-β)+β=α ………………………..….(6) (αριθμητική αφαίρεση).

Προφανώς σε αντίθεση με την πρόσθεση, η αφαίρεση είναι δυνατή στο σύνολο των θετικών ακεραίων , μόνο αν α>β, δηλαδή για ειδικές τιμές των α,β.

Όμως τι θα σήμαινε αν α<β ; Τότε ο α-β δεν είναι γνωστός αριθμός (θετικός ακέραιος) Τώρα ξεκινούμε μια νέα ερμηνεία της (6) , τη συμβολική ερμηνεία. Καθώς είμαστε συνηθισμένοι στην αριθμητική άλγεβρα, μια ισότητα έχει το νόημα ότι αν γίνουν οι αριθμητικές πράξεις που σημειώνονται , θα έχουμε τα ίδια αριθμητικά αποτελέσματα στα δύο μέλη. Όμως αν τα σύμβολα δεν είναι αριθμοί και οι πράξεις δεν είναι αριθμητικές , τι μένει από την έννοια της ισότητας;

Τότε, λέει ο Peacock, η ισότητα είναι μια δήλωση της ισοδυναμίας ενός ορισμένου συνδυασμού των συμβόλων (γραμμάτων) με την έννοια ότι ο ένας μπορεί να αντικατασταθεί από τον άλλο. Με αυτή την έννοια η (6) είναι μια συμβολική ισότητα , που ερμηνεύεται ως αριθμητική ισότητα αν τα α,β θετικοί ακέραιοι με α>β. Ομοίως το + δηλώνει αριθμητική πρόσθεση μόνο αν τα σύμβολα που συνδέει είναι αριθμοί.

Αν όμως αγνοήσουμε την ερμηνεία των α,β,γ , αποδεικνύεται ότι το σύμβολο α-β που ορίζεται από την (6) πληρεί τις σχέσεις I έως V των θετικών ακεραίων, οι οποίες σχέσεις τώρα και αυτές δεν ερμηνεύονται αριθμητικά αλλά ως δηλώσεις της ισοδυναμίας των συνδυασμών των συμβόλων. Σε αυτή τη διαδικασία δεν έχει νόημα αν ο α-β είναι αριθμός ή όχι. Τώρα είμαστε στο πεδίο του φορμαλισμού και αποδεικνύονται αυστηρά λογικά, με συνδυασμό των τύπων και συνεπαγωγές, με βάση τους θεμελιώδεις νόμους I- V και τον συμβολικό ορισμό της αφαίρεσης, οι τυπικές ιδιότητες (πορίσματα ) της συμβολικής αφαίρεσης:

α-(β+γ)=α-β-γ=α-γ-β

α-(β-γ)=α-β+γ

α+β-β=α

α+(β-γ)=α+β-γ=α-γ+β

αx(β-γ)=αxβ-αxγ

Αν λοιπόν επιστρέψουμε στους αριθμούς και είναι α<β τότε το α-β ονομάζεται αρνητικός αριθμός και πληρεί την άλγεβρα των παραπάνω σχέσεων , οι οποίες είναι πορίσματα των αξιωμάτων της άλγεβρας των θετικών ακεραίων !, τώρα ορίσαμε αυστηρά τους αρνητικούς ακέραιους.

….Όλα τα αποτελέσματα της αριθμητικής άλγεβρας που παράγονται από την εφαρμογή των κανόνων της και τα οποία είναι γενικά στον τύπο αλλά ειδικά στην τιμή, είναι αποτελέσματα επίσης της συμβολικής άλγεβρας όπου είναι γενικά στην τιμή όπως και στον τύπο…..έτσι είναι δυνατόν να αποβεί θεμελιώδης μία επιστήμη συμβόλων και των συνδυασμών τους με βάση τους δικούς τους κανόνες η οποία θα μπορούσε να εφαρμοστεί στην αριθμητική και στις άλλες επιστήμες μέσα από την ερμηνεία τους. Αυτό σημαίνει ότι η ερμηνεία θα α κ ο λ ο υ θ ε ί και δεν θα π ρ ο η γ ε ί τ α ι των πράξεων της άλγεβρας και των αποτελεσμάτων της…. Peacock² . (Εδώ ο Peacock φωτογραφίζει π.χ την ομάδα).

Ας δούμε ένα παράδειγμα: στην αριθμητική άλγεβρα αν α>β και γ>δ έχουμε

(α-β)(γ-δ)=αγ-αδ-βγ+βδ

Στη συμβολική άλγεβρα προκύπτει (τα α,β,γ,δ τυχόντες ακέραιοι)

(0-β )(0-δ)=0.0-0.δ-β.0+βδ δηλαδή (-β)(-δ)=βδ

Η δικαιολόγηση αυτής της επέκτασης από την αριθμητική άλγεβρα στη συμβολική άλγεβρα ονομάστηκε από τον Peacock , αρχή της μονιμότητας των (ισοδύναμων) μορφών, που είναι μια λογική αρχή και έχει το νόημα ότι οι πράξεις της συμβολικής άλγεβρας ορίζονται από αυτές της αριθμητικής όταν συμβαδίζουν, και από την αρχή της μονιμότητας σε κάθε άλλη περίπτωση. Είναι αυτό που αναφέρει ο Henry B.Fine :

…Οι νόμοι της ορθής σκέψης εφαρμόζονται εξ ίσου σε απλά σύμβολα όπως στους αριθμούς. Η αρχή της μονιμότητας είναι μια κομψή αρχή από την οποία εξαρτώνται οι υπολογισμοί με τεχνητούς αριθμούς , και η δήλωση της φύσης αυτής της εξάρτησης είναι εξαιρετική …Henry B Fine ‘the number system of Algebra’)

Αυτή η αρχή της μονιμότητας των μορφών, αν και ομιχλώδης, είναι η διατύπωση για τη σπουδαιότητα των συμβολικών ισοτήτων κατ’ αρχή ,στην άλγεβρα των αριθμών. Οι ισότητες αυτές ορίζουν ισοδύναμες μορφές, (προοιωνίζουν τις δομές) κι όχι περιπτωσιακές ισότητες, δηλαδή είναι μόνιμες, αν και οι ερμηνείες τους αλλάζουν ανάλογα με την ερμηνεία των συμβόλων. Η τάση για νέα αφαίρεση των μαθηματικών, σημαντικότερη από τις προηγούμενες, είναι φανερή, αφού έχουμε τη δυνατότητα επέκτασης ενός ορισμού σε γενικότερο ορισμό, έτσι ώστε οι περισσότερες από τις παλιές ιδιότητες να διατηρηθούν.

«..Η συμβολική άλγεβρα του Peacock ήταν οι απαρχές της ‘αφηρημένης άλγεβρας’ (abstract algebra) η οποία ήταν μια κίνηση από την άλγεβρα ως γενικευμένη αριθμητική σε μια καθαρά τυπική (formal) άλγεβρα. Η συμβολική άλγεβρα υπογράμμισε τη σπουδαιότητα της δομής έναντι του νοήματος και αναγνώρισε αυτό που έχει διατυπωθεί ως αρχή της μαθηματικής ελευθερίας. Η αρχή αυτή υπονοεί ότι η άλγεβρα ασχολείται με αυθαίρετα σύμβολα, άνευ νοήματος, οι μαθηματικοί κατασκευάζουν τους κανόνες χειρισμού τους και η ερμηνεία, ακολουθεί μάλλον παρά προηγείται των αλγεβρικών χειρισμών». (Patricia R Allaire , Robert E. Bradley ‘Symbolical Algebra as a foundation of calculuς, διαδίκτυο)…..

«….όλες οι διαδικασίες της άλγεβρας πρέπει να βασίζονται σε μια ολοκληρωμένη δήλωση του κορμού των νόμων οι οποίοι αναφέρονται στις πράξεις που χρησιμοποιούνται σε αυτές τις διαδικασίες , χωρίς να χρησιμοποιείται καμία ιδιότητα μιας πράξης αν δεν έχει ληφθεί ως αληθής από την αρχή ή αν δεν προκύπτει ως συμπέρασμα από τους αρχικούς νόμους…» P.H.Nidditch

Τελικές παρατηρήσεις.

Οι απόψεις του Peacock έγιναν αποδεκτές από τη μαθηματική κοινότητα μετά τους Hamilton και Grassmann οι οποίοι ανακάλυψαν νέους αριθμούς που πληρούσαν νέες άλγεβρες, ο πρώτος την άλγεβρα των τετραδονίων (δεν ίσχυε η αντιμετάθεση στον πολλαπλασιασμό), και ο δεύτερος με τους υπερμιγαδικούς του αριθμούς, όπου ο πολλαπλασιασμός ορίζονταν πολλαπλά, παράγοντας πολυάριθμες αλγεβρικές δομές.

Φαίνεται καθαρά ότι η ανάγκη της επέκτασης της έννοιας του αριθμού μας έφερε την αφηρημένη άλγεβρα (το παν αριθμός), η οποία τελικά αυτονομήθηκε πέρα από τις αριθμητικές ερμηνείες, με δικά της θεωρήματα και εικόνες, αλλά πάντα με μια αξιωματική βάση στο επίκεντρο, που είναι η εξέλιξη της συμβολικής ισότητας του Peacock. Η γενίκευση αυτή του αριθμού λειτούργησε όπως η γενίκευση της έννοιας της ευθείας (νέα αξιώματα) στη γεωμετρία του Λομπατσέφσκι. Δεν καθορίζουν οι αριθμοί τις πράξεις αλλά οι πράξεις (δηλαδή τα αξιώματά τους) τους αριθμούς, όπως δεν καθορίζει ο χώρος τις ευθείες αλλά οι ευθείες το χώρο!. Και οι ευθείες και οι αριθμοί είναι σύμβολα του νου, σε αυτόν απευθύνονται , και μέσω αυτού θα οριστούν, δ η λ α δ ή θ α ο ρ ι σ τ ο ύ ν α ξ ι ω μ α τ ι κ ά. Αν ο Λομπατσέφσκι απελευθέρωσε τη γεωμετρία, οι Hamilton και Grassmann απελευθέρωσαν την άλγεβρα. …

(συνεχίζεται)

Γιώργος Μπαντές, www mpantes. gr

Για το άρθρο διάβασα

Number system of Algebra (Henry B. Fine διαδίκτυο, )

Αrithmetical and Symbolical Algebra’ (Peacock , διαδίκτυο)

Abstract Algebra : P.H.Nidditch

_{Foundation and fundamental concepts of mathematics, Howard Eves}

Πως τα μαθηματικά εξηγούν τον κόσμο (Τζέιμς Στάιν, Αυγό)

A short account of the history of mathematics (Rousse Ball, Dover)

1 Οι άλλοι αριθμοί , οι «τεχνητοί αριθμοί» δηλαδή οι αρνητικοί, οι ρητοί , οι άρρητοι και οι φανταστικοί, μαζί με τους θετικούς ακεραίους , αποτελούν το «αριθμητικό σύστημα» της άλγεβρας.

2 ‘Αrithmetical and Symbolical Algebra’ 1830 και 1845